*** Tarif d'un spectacle

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Une association propose chaque jour un spectacle au prix de \(20\) €. Pour le promouvoir, l’association annonce que, à l’entrée du spectacle, chaque client lancera un dé cubique non truqué, dont les faces sont numérotées de \(1\) à \(6\).

• Si le résultat est \(6\), l’entrée sera gratuite.
  
• Si le résultat est \(1\), l’entrée sera à demi-tarif.
  
• Si le résultat est \(5\), le client aura une remise de \(20\; \%\).
  
• Dans les autres cas, le client paiera plein tarif.
  

Soit \(X\) la variable aléatoire qui à chaque résultat du lancer de dé associe le prix que paiera le client.

1. Montrer que la variable aléatoire \(X\) prend les valeurs \(0\) ; \(10\) ; \(16\) et \(20\).
2. Déterminer la loi de probabilité de \(X\) (les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles).
3. Calculer la probabilité de l’événement \(\{X\leqslant 10\}\).
4. Calculer l’espérance mathématique de \(X\) et interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l’exercice.
5. Que peut-on en déduire pour l’association si la salle composée de \(900\) places est pleine ?